Lớp 6

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập – Toán lớp 6

Các dạng toán tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật là một trong những chuyên đề có khá nhiều bài tập được gọi là “khó nhằn” và gây ‘căng thẳng đầu óc’ cho các bạn học sinh lớp 6, đây có thểcoi làdạng toán dành cho học sinh khá giỏi.

Vì vậy, nhằm giúp các em học sinh “giải tỏa được căng thẳng” khi gặp các dạng toán về tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật, trong bài viết này chúng ta hãy cùng hệ thống lại một sốdạng toán này cùngcông thức và cách giải, sau đó vận dụng làm các bài tập.

Bạn đang xem bài: Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập – Toán lớp 6

I. Dạng toán tính tổng dãy sử dụng phương pháp quy nạp.

– Đối với 1 số trường hợp khi tính tổng hữu hạn:

Sn = a1 + a2 + . . . + an (*)

khi mà ta có thể biết được kết quả (đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta dự đoán được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh.

* Ví dụ: Tính tổng Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1)

° Hướng dẫn: (sử dụng phương pháp quy nạp)

– Đầu tiên, ta thử với n = 1, ta có: S1 = (2.1 – 1) = 1

Thử với n = 2, ta có: S2 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) = 1+ 3 = 4 = 22

Thử với n= 3,ta có: S3= (2.1 – 1) + (2.2 – 1) + (2.3 – 1)= 1+ 3 + 5 = 9 = 32

… … …

– Ta dự đoán: Sn= 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2

• Phương pháp quy nạp: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2(*)

Với n = 1; S1 = 1 (đúng)

Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là:

Sk =1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2 (1)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1, tức là:

Sk+1 = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)2

Vì ta đã giải sử Sk đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp.

1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) = k2

1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2+ (2k+1)(cộng 2k+1 vào 2 vế).

Từ đó⇒1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1)+ (2k+1)= k2 + 2k + 1 = (k+1)2

•Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh các kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học:

1) 1568138637ckd415edmj 1633221181

2)

3)1569204220a5im89yvj6 1633221181

4)1568138640g0lojj373e 1633221182

II. Dạng toán Tính tổng dãy sử dụng phương pháp khử liên tiếp

– Giả sử cần tính tổng:Sn= a1+ a2+ . . . + an(*) mà ta có thể biểu diễn ai, i =1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy khác, cụ thể như sau:

a1 = b1 – b2

a2= b2– b3

… … …

an= bn– bn+1

⇒ Khi đó ta có:Sn= (b1– b2) + (b2– b3)+…+(bn– bn+1) = b1 – bn+1

* Ví dụ 1: Tính tổng:

1568138641ptb87i65gc 1633221182

°Hướng dẫn:– Ta có:

15681386437vqppcmcgz 16332211821568138644uc33qo79ii 1633221182

1568138646i546pilsa7 1633221182…;156813864780vz02jdqn 1633221183

15681386499cbdf2tba6 16332211841568138650d4fjc6yoos 1633221185

Dạng tổng quát:

15681386520dt2r853kr 1633221185

* Ví dụ 2:Tính tổng:

15681386555hsakqwt5q 1633221186

°Hướng dẫn:– Ta có:

15681386578l8o3g5ick 1633221187156813865812z89j4w2e 1633221187;…;

1568138661bcnds2r7yn 16332211891568138663315102pt8w 1633221189

1568138664ow7bw822nv 1633221189

* Ví dụ 3: Tính tổng:

1568173599sw7cq68daa 1633221190

°Hướng dẫn:– Ta có:

1568173602bkowpqn4q1 1633221190

1568173604rvlrkjbslb 1633221190

III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 2 + 22 + . . . + 2100 (*)

° Hướng dẫn:

* Cách 1: Ta viết lại S như sau:

S = 1 + 2(1 + 2 + 22+ . . . + 299)

S = 1 + 2(1 + 2 + 22+ . . . + 299 + 2100 – 2100)

⇒ S = 1+ 2(S – 2100) = 1+ 2S – 2101

⇒ S = 2101 – 1

* Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

2S = 2(1 + 2 + 22+ . . . + 2100)

⇔ 2S = 2 + 22 + 23 + . . . 2101 (**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

2S – S = (2 + 22+ 23+ . . . 2101) – (1 + 2 + 22+ . . . + 2100)

⇔ S = 2101– 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

156817360551cu5y377r 1633221191

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được:15681736076wkuzeiyml 1633221191

* Ví dụ 2:Tính:

S =1 – 2 + 22– 23 + 24 – . . . – 299 + 2100

° Hướng dẫn:– Ta có:

2S = 2(1 – 2 + 22– 23+ 24–. . . – 299+ 2100)

⇔2S = 2 – 22 + 23– 24+ 25–. . . – 2100+ 2101

⇔2S + S = (2 – 22+ 23– 24+ 25–. . . – 2100+ 2101) + (1 – 2 + 22– 23+ 24– . . . – 299+ 2100)

⇔ 3S =2101 + 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

1568173610nqc3ipt5pf 1633221192

Ta nhân cả 2 vế của Snvới a. Rồi CỘNG vế với vế ta được:

* Ví dụ 3:Tính tổng:

S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100(*)

° Hướng dẫn:

– Với bài toán này, mục tiêulà nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

S = 1 + 32+ 34+ . . . + 398+ 3100

⇔ 32.S = 32(1 + 32+ 34+ . . . + 398+ 3100)

⇔ 9S= 32+ 34+ . . . + 3100+ 3102 (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được:

9S-S= (32+ 34+ . . . + 3100+ 3102) – (1 + 32+ 34+ . . . + 398+ 3100)

⇔ 8S = 3102 – 1

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của Snvới ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được:

1568176796eun64lbt3h 1633221194

* Ví dụ 4:Tính:

S = 1 – 23+ 26– 29+ . . . + 296– 299(*)

° Hướng dẫn:

– Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được:

23.S = 23.(1 – 23+ 26– 29+. . . + 296– 299)

⇒ 8S = 23– 26+ 29– 212+. . . + 299– 2102 (**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

8S + S = (23– 26+ 29– 212+. . . + 299– 2102)+(1 – 23+ 26– 29+. . . + 296– 299)

⇔ 9S = 1 – 210215681832889ncn9uto0i 1633221194

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của Snvới ad. Rồi CỘNG vế với vế ta được:

III. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều.

•Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:

– Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] + 1

– Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Tổng = [(số đầu + số cuối).(số số hạng)]:2

* Ví dụ 1:Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 39

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.

* Ví dụ 2:Tính tổng: S = 2 + 5 + 8 + … + 59

° Hướng dẫn:

–Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610.

IV. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

• Ký hiệu:

• Tính chất:

1568189001ivc9kpny5v 1633221195

1568189004goejnl91yb 1633221195

* Ví dụ:Tính tổng: Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+n(n+1)

° Hướng dẫn:

–Ta có:1568189006lanhtuocgz 1633221195

– Mặt khác, lại có:

(theo PP quy nạp ở mục I).

1568189010j8or344zqg 1633221196(theo PP quy nạp ở mục I)

156818901296ody1593t 1633221196

V. Một số bài tập luyện tập về tính tổng dãy số có quy luật

Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 + 8 + 13 + 18 + … + 228

Bài tập 2: Tính các tổng sau:

a) S = 6 + 62 + 63 +…+ 699 + 6100

b) S = 5 + 11 + 17 +…+ 95 + 101

c)1568189013faaokhqbft 1633221196

d)1568189015beh6m7mazm 1633221196

Bài tập 3: Chứng minh

a) 1.4 + 4.7 + 7.10 +…+(3n-2)(3n+1) = n(n+1)2

b)15681893038wz42ry3dj 1633221197

Hy vọng với bài viết hệ thống lại Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập vận dụng ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt !

Trích nguồn: TH Văn Thủy
Danh mục: Lớp 6

Lê Thị Thanh Loan

Cô giáo Lê Thị Thanh Loan tốt nghiệp trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Hiện nay, Cô đang giảng dạy tại trường Trường tiểu học Văn Thủy
Back to top button