Lớp 7

Các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và bài tập – Toán lớp 7

Đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch là nhữngnội dungcơ bản mang tính nền tảng giúp các em dễ dàng tiếp thu phần kiến thức về hàm số sau này.

Để các emhiểu rõvề đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch trong bài viết này chúng tacùnghệ thống lại các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và phương pháp giải các dạng bài tập này một cách chi tiết, cụ thể.

Bạn đang xem bài: Các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và bài tập – Toán lớp 7

A. Lý thuyết cần nhớ về Đại lượng tỉ lệ thuận và Đại lượng tỉ lệ nghịch

I. Lý thuyết về Đại lượng tỉ lệ thuận

1. Đại lượng tỉ lệ thuận là gì?

– Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: y = kx ( với k là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.

* Chú ý:

– Khi đại lượng y tỉ lệ với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ thuận với y và ta nói 2 đại lượng này tỉ lệ thuận với nhau.

– Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k (k≠0) thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 1566395714evmmhshc09 1573806985 1605082457

.

2. Tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận

•Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau, tức là với mỗi giá trịx1, x2, x3,… khác 0 của x ta có 1 giá trị tương ứng y1=kx1, y2=kx2, y3=kx3,… của ythì:

– Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi:

1566395716rcz3ve01bg 1573806985 1605082458

– Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

15663957176bma8ekm6i 1573806985 1605082458

II.Lý thuyết về Đại lượng tỉ lệnghịch

1. Đại lượng tỉ lệ nghịch là gì?

– Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức:1566395719edjaqq1egz 1573806985 1605082458

hay 1566395720ob7fmoblbr 1573806986 1605082458(a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệnghịchvới x theo hệ số tỉ lệ a.

* Chú ý:Khi đại lượng y tỉ lệ thuận nghịch với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ nghịch với y và ta nói 2 đại lượng này tỉ lệnghịchvới nhau.

2. Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch

•Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau, tức là với mỗi giá trịx1, x2, x3,… khác 0 của x ta có 1 giá trị tương ứng 1566395722zq20e9c43p 1573806986 1605082458

của ythì:

– Tích của 2 giá trịtương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ):

1566395723160aay9kke 1573806986 1605082458

– Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

1566395725ulquhi3h5l 1573806986 1605082458

hayhochoi dn6jpg160508236 1605082458

B. Các dạng toán về Đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch

° Dạng 1: Nhận biết hai đại lượng là tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch

Phương pháp:

– Dựa vào bảng giá trị để nhận biết 2 đại lượng có tỉ lệ thuận với nhau không ta tính các tỉ số15664372724y7iansmpl 1573806986 1605082459nếu cho cùng một kết của thì x, y tỉ lệ thuận và ngược lại.

– Dựa vào bảng giá trị để nhận biết 2 đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau không ta tính các tỉ số x.y nếu cho cùng một kết của thì x, y tỉ lệ nghịch và ngược lại

*Ví dụ 1:Cho x và y có giá trị như bảng dưới, hỏi x và y cótỉ lệ thuậnvới nhau không?

– Bảng 1:

x

3

-2

1

5

12

6

y

6

-4

2

10

24

12

– Bảng 2:

x

-3

-2

1

5

12

6

y

6

-4

2

10

24

12

* Hướng dẫn:

◊Bảng 1: Ta lập tỉ lệ x/y, ta có:

1566443329l45tg3c7gs 1573806986 1605082459

;1566443331vaeam7ufrn 1573806987 1605082459; …;15664433322tfhwd9t8t 1573806987 1605082459

– Ta thấy:1566439652ew4pqu1p12 1573806987 1605082459

⇒ x và y tỉ lệ thuận với nhau (ở ví dụ này ta lập tỉ lệ x/y, các em cũng có thể lập tỉ lệ y/x)

◊Bảng 2: Ta lập tỉ lệ x/y, ta có:

;1566443331vaeam7ufrn 1573806987 1605082459

– Ta thấy:1566439655f3sffr8vn4 1573806988 1605082459

⇒ x và y KHÔNG tỉ lệ thuận với nhau

*Ví dụ 2:Cho x và y có giá trị như bảng dưới, hỏi x và y cótỉ lệ nghịchvới nhau không?

– Bảng 1:

x

4

8

-2

1

16

4

y

9

4

-16

32

2

8

– Bảng 2:

x

4

-2

8

1

12

6

y

6

-12

3

24

2

4

* Hướng dẫn:

◊Bảng 1: Ta tính các tính x.y tương tứng, ta có:

x1y1= 4.9=36;x2y2=8.4=32

– Ta thấy: x1y1≠x2y2

⇒ x và y KHÔNG tỉ lệ nghịch với nhau.

◊Bảng 2: Ta tính các tính x.y tương tứng, ta có:

x1y1= 4.6 = 24;x2y2= (-2).(-12) = 24; x3y3= 8.3 = 24;…;x6y6= 6.4 = 24.

– Ta thấy:x1y1=x2y2=x3y3= …= x6y6= 24.

⇒ x và y tỉ lệ nghịch với nhau.

*Ví dụ3 (Bài 5 trang 55 SGK Toán 7 Tập 1):Hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau hay không nếu:

a) Bảng 1:

x 1 2 3 4 5
y 9 18 27 36 45

b) Bảng 2

x 1 2 5 6 9
y 12 24 60 72 90

* Hướng dẫn:

a) Ta thấy :

⇒ y=9x⇒ y tỉ lệ thuận với x.

a) Ta thấy :

⇒ y không tỉ lệ thuận với x (hay x và y không tỉ lệ thuận với nhau).

° Dạng 2: Tính hệ số tỉ lệ, biểu diễn x theo y, tìm xkhi biết y(hoặc tìm y khi biết x)

Phương pháp:

–Hệ số tỉ lệ thuận của y với x là:1566482496bup8rtjb6e 1573806989 1605082460; sau khi tính được k ta thay vào biểu thức y=k.x để được mối quan hệ giữa y và x.

– Hệ số tỉ lệ thuận của x với y là; sau khi tính được k ta thay vào biểu thức x=k.y để được mối quan hệ giữax và y.

– Hệ số tỉ lệ nghịch là k=x.y; sau khi tính được k ta thay vào biểu thứchoặc1566482500y0bac8guzn 1573806990 1605082460để được mối quan hệ giữa x và y.

– Sau khi biểu diễn mối quan hệ giữa y và x, ta dựa vào đó để tính y khi biết x và ngược lại để điền vào các ô dữ liệu theo yêu cầu bài toán.

* Ví dụ:Cho x và y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận, x = 3 và y = 6.

a) Tìm hệ số tỉ lệ thuận của y với x

b) Biểu diễn y theo x

c) Tính x khi y = 24 và tính y khi x = 6

* Hướng dẫn:

a) Hệ số tỉ lệ thuận:

b) Vì k = 2 nên y = 2x

c) Với y = 24⇒ 2x = 24⇒ x = 12

Với x = 6⇒ y = 2x = 2.6 = 12.

° Dạng 3: Cho x và y là 2 đại lượng Tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) với nhau, hoàn thành bảng số liệu

Phương pháp:

-Tính k và biểu diễn x theo y(hoặc y theo x)

-Thay các giá trị tương ứng để hoàn thành bảng

* Ví dụ 1 (Bài 2 trang 54 SGK Toán 7 Tập 1):Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

x -3 -1 1 2 5
y -4

* Lời giải:

– Vì x và y tỉ lệ thuận nên y = k.x

– Theo bảng số liệu cho thì khi x = 2 thi y = -4 nên ta có hệ số tỉ lệ:1566482988ttzfd6fpc7 1573806991 1605082460

⇒ Vậy y tỉ lệ thuận với x theo tỉ số -2, hay y = -2.x, từ đó ta có:

Với x = -3 thì y = (-2).(-3) = 6.

Với x = -1 thì y = (-2).(-1) =2

Với x = 1 thì y = (-2).1 = -2

Với x= 5 thì y = (-2).5 = -10

⇒ Ta có bảng sau :

x -3 -1 1 2 5
y 6 2 -2 -4 -10

*Ví dụ 2(Bài 13 trang 58 SGK Toán 7 Tập 1):Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

x 0,5 -1,2 4 6
y 3 -2 1,5

* Lời giải:

– Giả sửhệ số tỉ lệ của x và y là a, thì15665257841la1epuh87 1573806991 1605082460

hay x.y = a.

– Theo bảng số liệu trên, khi x = 4 thì y = 1,5⇒ a = x.y = 4.1,5 = 6.

– Vậy ta có: x.y = 6.

Với x = 0,5 thì y = 6:0,5 = 12.

Với x = -1,2 thì y = 6:(-1,2) = -5

Với y = 3 thì x = 6:3 =2

Với y = -2 thì x = 6:(-2) = -3.

Với x = 6 thì y = 6:6 = 1.

⇒ Vậy ta có bảng sau :

x 0,5 -1,2 2 -3 4 6
y 12 -5 3 -2 1,5 1

° Dạng 4: Cho x tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) với y, y tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) với z. Tìm mối liên hệ giữa x và z và tính hệ số tỉ lệ

Phương pháp:

– Dựa vào đề bài biểu diễn x theo y, y theo z rồi thay y vào biểu thức trên để tìm mối quan hệ giữa x và z, sau đó rút ra kết luận.

* Ví dụ 1:Cho x tỉ lệ thuận với y theo tỉ số k=3, y tỉ lệ thuận với z theo tỉ số k=2. Hỏi x tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với z và tỉ số bằng bao nhiêu?

* Hướng dẫn:

– Theo bài ra,x tỉ lệ thuận với y theo tỉ số k=3⇒ x = 3y (*)

y tỉ lệ thuận với z theo tỉ số k=2⇒ y = 2z (**)

– Thế y ở phương trình (**) vào phương trình (*)⇒ x = 3y = 3(2z) = 6z.

⇒ Vậy x tỉ lệ thuận với z với tỉ số k = 6.

♦ Lưu ý: như vậy, x TLT với y, y TLT với z⇒ x TLT với z(Thuận+ Thuận → Thuận)

* Ví dụ 2:cho x tỉ lệ nghịch với y theo k=3, y tỉ lệ nghịch với z theo k=6. Hỏi x và z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch và k bằng bao nhiêu.

* Hướng dẫn:

– Theo bài ra, x tỉ lệ nghịch với y theo k=3⇒ 1566525786mq48lzg8tl 1573806991 1605082460

(*)

y tỉ lệ nghịch với z theo k=6⇒ yz = 6⇒

(**)

– Thế y ở phương trình (**) vào phương trình (*)⇒1566525789djjotiyrt4 1573806992 1605082460

⇒ Vậy x tỉ lệ thuận với z với tỉ số 1566525790ylkppl8w75 1573806992 1605082460

.

♦ Lưu ý: như vậy, x TLN với y, y TLN với z⇒ x TLT với z (Nghịch + Nghịch→ Thuận)

* Ví dụ 3. Cho x tỉ lệ thuận với y theo k=5, y tỉ lệ nghịch với z theo k=2. Hỏi x và z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch và hệ số tỉ lệ k là bao nhiêu.

* Hướng dẫn:

– Theo bài ra,x tỉ lệ thuận với y theo k=5 ⇒ x = 5y (*)

y tỉ lệ nghịch với z theo k=2 ⇒

(**)

– Thế y ở phương trình (**) vào phương trình (*)⇒1566525793tmz7y07ykf 1573806993 1605082461

⇒ Vậy x tỉ lệ nghịch với z với tỉ số k=10.

° Dạng 5: Bài toán đố về đại lượng TLT và TLN

Phương pháp:

– Với những bài toán có hai đại lượng ta có thể lập tỉ số luôn.

+ Nếu 2 đại lượng tỉ lệ thuận thì:15665257956uw94a9s2z 1573806993 1605082461

hay

+ Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch thì:15665257988vmm39joau 1573806996 1605082461

hay1566525799peb2us7ka1 1573806996 1605082461

– Đối với bài toán chia số phần, ta gọi các giá trị cần tìm là x, y, z rồi đưa về dãy tỉ số bằng nhau để giải, chú ý:

+ Nếu các ẩn số x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c thì:1566525801luepl61j8g 1573806997 1605082461

+ Nếu các ẩn số x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c thì: a.x=b.y=c.z;

* Ví dụ 1 (Bài 6 trang 55 SGK Toán 7 Tập 1):Thay cho việc đo chiều dài các cuộn dây thép người ta thường cân chúng. Cho biết mỗi mét dây nặng 25 gam.

a) Giả sử x mét dây nặng y gam. Hãy biểu diễn y theo x

b) Cuộn dây dài bao nhiêu mét biết rằng nó nặng 4,5kg?

* Lời giải:

a) Vì khối lượng của cuộn dây thép tỉ lệ thuận với chiều dài nên y = k.x

– Theo bài ra, ta có y = 25(g) thì x = 1(m).

⇒ Thay vào công thức ta được 25=k.1 ⇒ k=25

– Vậy y = 25x;

b) Vì y = 25x nên khi y = 4,5kg = 4500g

⇒ x = 4500:25 = 180(m)

– Vậy cuộn dây dài 180m.

C. Bài tập luyện tập về đại lượng tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch

* Bài 7 (trang 56 SGK Toán 7 Tập 1):Hạnh và Vân định làm mứt dẻo từ 2,5kg dâu. Theo công thứccứ 2kg dâu thì cần 3kg đường. Hạnh bảo cần 3,75kg đường còn Vân bảo cần 3,25kg. Theo em ai đúng và vì sao?

* Lời giải bài 7 trang 56 SGK Toán 7 Tập 1:

– Vì khối lượng dâu y(kg) tỉ lệ thuận với khối lượng đường x(kg) nên ta có y = kx

– Theobài ra khiy=2 thì x=3⇒2 = k.3 ⇒ 1566647953q6nq8teueq 1573806997 1605082461

.⇒ 1566647955ojn56c0ks9 1573806997 1605082461.

– Vậy để là 2,5kg dâu tứcy = 2,5(kg) thì số kg đường x cần là:

15666479560yzr3rrq5t 1573806998 1605082461

⇒ Vậy khi làm 2,5kg dâu thì cần 3,75kg đường, tức là Hạnh nói đúng.

* Bài 8 (trang 56 SGK Toán 7 Tập 1):Học sinh của ba lớp 7 cần phải trồng và chăm sóc 24 cây xanh. Lớp 7A có 32 học sinh lớp 7B có 28 học sinh lớp 7C có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh biết rằng số cây xanh tỉ lệ với số học sinh?

* Lời giải bài 8 trang 56 SGK Toán 7 Tập 1:

– Gọi x, y, z lần lượt là số cây trồng của các lớp 7A, 7B, 7C.

– Theo bài ra, số cây xanh tỉ lệ với số học sinh, tức là:x : y : z = 32:28:36,

hay1566647957k9jhntupn7 1573806998 1605082461

– Theo bài ra, tổng số cây xanh phải chăm sóc là 24 cây nghĩa là x + y + z = 24.

– Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1566647957k9jhntupn7 1573806998 1605082461

1566647961cp7qb0bhdl 1573806998 1605082462

15666479626llkdylfht 1573806999 1605082462

1566647964m4fv1b7ev5 1573806999 1605082462

– Kết luận: Số cây trồng của các lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự 8, 7, 9 (cây)

* Bài 9 (trang 56 SGK Toán 7 Tập 1):Đồng bạch là một loại hợp kim của niken, kẽm và đồng vói khối lượng của chúng lần lượt tỉ lệ với 3; 4 và 13. Hỏi cần bao nhiêu kilogam niken, kẽm và đồng để sản xuất 150kg đồng bạch?

* Lời giải bài9 trang 56 SGK Toán 7 Tập 1:

– Gọi x, y, z (kg) lần lượt là khối lượng của niken, kẽm, đồng.

– Khối lượng các chất lần lượt tỉ lệ với 3, 4 và 13 nghĩa là x:y:z = 3:4:13,

hay

.

– Theo bài ra, khối lượng đồng bạch cần 150kg nghĩa là x+y+z = 150.

– Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1566698015y6l0y4fhe6 1573806999 1605082462

1566698016oni71qmatj 1573807000 1605082462

⇒ x = 7,5 .3 = 22,5(kg); y = 7,5 .4 = 30 (kg); z =7,5.13 = 97,5 (kg)

– Kết luận: Vậy khối lượng của niken là 22,5kg, kẽmlà 30kg; và đồnglà 97,5kg.

* Bài 10 (trang 56 SGK Toán 7 Tập 1):Biết các cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2 : 3 : 4 và chu vi của nó là 45cm. Tính các cạnh của tam giác đó.

* Lời giải bài10 trang 56 SGK Toán 7 Tập 1:

– Gọi x, y, z (cm) là chiều dài của các cạnh của tam giác.

– Các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2, 3, 4 nghĩa là x:2 = y:3 = z:4,

hay1566697488grujls88c2 1573807000 1605082462

– Theo bài ra, chu vi tam giác bằng 45, nghĩa là x + y+ z = 45

– Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1566698018g2a8s0ah8a 1573807000 1605082462

⇒ x = 5.2 = 10 ; y = 5.3 = 15 ; z = 5.4 = 20

– Kết luận: Vậy các cạnh của tam giác có chiều dài lần lượt là 10cm ; 15cm ; 20cm.

* Bài 11 (trang 56 SGK Toán 7 Tập 1):Đố.Đố em tính được trên một chiếc đồng hồ khi kim giờ quay được một vòng thì kim phút, kim giây quay được bao nhiêu vòng ?

* Lời giải bài11 trang 56 SGK Toán 7 Tập 1:

– Như ta đã biết:1 giờ = 60 phút = 3600 giây;

Kim giây quay 1 vòng = 60 giây

Kim phút quay 1 vòng = 60 phút =60.60giây = kim giây quay 60 vòng

Kim giờ đi được 1 giờ thì kim phút quay được 1 vòng và kim giây quay được 60 vòng trên mặt đồng hồ.

⇒ Kim giờ quay được 1 vòng nghĩa là đi hết 12 giờthì kim phút quay được 1.12 = 12 (vòng) và kim giây quay được 60.12 = 720 (vòng).

D. Bài tập về các dạng toán tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch

* Bài tập 1: Cho biết 2 đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x =2 và y = 10

a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x.

b) Hãy biểu diễn y theo x.

c) Tính giá trị của y khi x = -3; x =5

* Bài tập 2: Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x =3 thì y = 6.

a) Tìm hệ số tỉ lệ a;

b) Hãy biểu diễn x theo y;

c) Tính giá trị của x khi y =-2 ; y = 1.

* Bài tập 3: Cho biết x và y là hai đạilượng tỷ lệ thuận và khi x = 4, y = 12.

a) Tìm hệ số tỷ lệ k của y đối với x và hãy biểu diễn y theo x

b) Tính giá trị của x khi y = 180.

* Bài tập 4: Hoàn thành bảng dữ liệu sau biết:

a) x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận

x 5 3 2
y 10 12 -4

b) x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

x 4 2 -10
y 5 -4 20

* Bài tập 5: Chobảng dữ liệu sau:

a) Hãy cho biết x và y có là hai đại lượng tỉ lệ thuận không?

x 6 2 5 15 -7
y 12 4 10 30 -14

b)Hãy cho biết x và y có là hai đại lượng tỉ lệnghịchkhông?

x 2 6 -1 -5 -15
y 15 5 -30 -6 -2

* Bài tập 6: cho xtỉ lệ thậnvới y theo k=2, ytỉ lệ nghịchvới z theo k=6. Hỏi x và z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ k bằng bao nhiêu?

* Bài tập 7: Cho xtỉ lệ thuậnvới y theo k=10, ytỉ lệ nghịchvới z theo k=2. Hỏi x và ztỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệk bằng bao nhiêu?

* Bài tập 8:

a) Tìm hai số x; y biết x; y tỉ lệ thuận với 3; 4 và x + y = 21.

b) Tìm hai số a; b biết a; b tỉ lệ thuận với 7; 9 và 3a – 2b = 30.

c) Tìm ba số x; y; z biết x; y; z tỉ lệ thuận với 3; 4; 5 và x – y + z = 20.

d) Tìm ba số a; b; c biết a; b; c tỉ lệ thuận với 4; 7; 10 và 2a + 3b + 4c = 69.

* Bài tập 9:

a) Cho tam giác có ba cạnh tỉ lệ thuận với 5; 13; 12 và chu vi là 156 mét. Tìm độ dài ba cạnh của tam giác đó.

b) Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác biết chu vi của nó bằng 52 cm và ba cạnh tỉ lệ nghịch với 8; 9; 12.

c)Tìm ba số a; b; c biết rằng a + b + c = 100; a và b tỉ lệ nghịch với 3 và 2; b và c tỉ lệ thuận với 4 và 3.

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng bài tập toán về tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và bài tập vận dụngở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Trích nguồn: TH Văn Thủy
Danh mục: Lớp 7

Lê Thị Thanh Loan

Cô giáo Lê Thị Thanh Loan tốt nghiệp trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Hiện nay, Cô đang giảng dạy tại trường Trường tiểu học Văn Thủy
Back to top button