Lớp 8

Các dạng toán về Phân thức Đại số và bài tập vận dụng – Toán lớp 8

Phân thức Đại số cũng có nhiều dạng toán như rút gọn phân thức, tính giá trị của phân thức, chứng minh đẳng thức, chứng minh phân thức là tối giản, điều kiện để phân thức có nghĩa,…

Bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng toán về Phân thức Đại số cùng phương pháp giải các dạng toán này. Đồng thời với mỗi dạng toán sẽ có ví dụ và bài tập có lời giải để các em dễ dàng ghi nhớ, vận dụng khi gặp các bài toán tương tự.

Bạn đang xem bài: Các dạng toán về Phân thức Đại số và bài tập vận dụng – Toán lớp 8

I. Lý thuyết về Phân thức Đại số

1. Định nghĩa phân thức đại số

•Một phân thức đại số (hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng:1563605676jah1np9g12

trong đó A, B là những đa phức và B ≠ 0.

– Trong đó A được gọi là tử thức (hay tử) B được gọi là mẫu thứ (hay mẫu).

• Mỗi đa thức được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.

2. Tính chất của phân thức đại số

a) Với hai phân thức1563607154islceb4u1i

1563607155zjs9wt00abta nói:

1563616773y79j09j5t5

nếu

b) Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

15636167744bt41ys568

; (M là đã thức và M≠0)

c) Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

15636071613na2ys4jgl

; (Nlà một nhân tử chung vàN≠0)

d) Quy tắc đổi dấu

° Đổi dấu cả tử và mẫu của phân thức:1563616776h7t6a369zu

° Đổi dấu trước phân thức và dấu tử thức :1563607164follhue47f

° Đổi dấu trước phân thức và dấu mẫu thức :1563607166ccmk1ri3wz

II. Các dạng toán về Phân thức đại số

° Dạng 1: Tìm điều kiện của biến để phân thức có nghĩa

* Phương pháp: Cho mẫu thức khác 0 và tìm kết quả

♦ Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để phân thức sau có nghĩa:

a) 1563607167bge90d6ttl

b)15636071694i0t4ne0lt c)1563607171ohzy1cdp40

* Lời giải:

a) Để phân thức có nghĩa:1563607172dpq81ev171

b)1563607174u082mpyw5s

c)

♦ Ví dụ 2:Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định:

a)1563616777ga63q976t3

b)15636167798lst88jbkp

* Lời giải:

a)1563616780jov40p5equ

b)15636167823kk8f0zoii

1563616783meh0h5ou92

° Dạng 2: Tìm giá trị của biến đểphânthức đạt giá trị cho trước.

* Phương pháp:

– Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

– Bước 2: Vận dụng các tính chất của phân thứcđể khử dạng phân thức

– Bước 3: Đối chiếu giá trị của x với điều kiện phân thức có nghĩa.

♦ Ví dụ 1:Với giá trị nào của x để:

a)1563616785s6p4mvur8y

b)15636167860y0ujtzclm

* Lời giải:

a)1563616785s6p4mvur8y

(*)

– Phân thức xác định khi: 3x – 3≠ 0⇒ x≠1.

(*)⇔ 2x + 3 = 3x – 3

⇔ 3x – 2x = 3 + 3

⇒ x = 6 (thỏax≠1).

– Kết luận: Vậy x = 6 là giá trị cần tìm.

b)15636167860y0ujtzclm

(*)

– Phân thức xác định khi: x3 + x – 3x2 – 3 ≠ 0

⇔ [x(x2 + 1) – 3(x2+ 1)]≠ 0

⇔ (x2+ 1)(x – 3) ≠ 0 ⇒ x≠ 3

(*)⇔ x – 2 = 0⇒ x = 2.

– Kết luận: Vậy x = 2 là giá trị cần tìm.

° Dạng 3: Chứng minh phân thức luôn có nghĩa.

* Phương pháp:Vận dụng các phép biến đổi để tìm điều kiện mẫu thức khác 0.

♦ Ví dụ:Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:

a)1563616791zrj2s3r5hy

b)1563616792u6jmifgldu

* Lời giải:

a)1563616791zrj2s3r5hy

(*)

– Ta có: (x – 1)2≥ 0,∀x nên(x – 1)2 + 1≥ 1,∀x

Do đó:(x – 1)2+ 1≠ 0,∀x

Vậy phân thức (*) luôn xác định.

b)1563616792u6jmifgldu

(**)

– Ta có: x2 – 4x + 5 = x2– 4x + 4 + 1 =(x – 2)2+ 2.

(x– 2)2 ≥ 0,∀x nên(x – 2)2+ 2 ≥ 2,∀x

Do đó: x2– 4x + 5≠ 0,∀x

Vậy phân thức (**) luôn xác định.

° Dạng 4: Phân thức bằng nhau (đẳng thức phân thức).

* Phương pháp:Vận dụngcác tính chất của phân thức đại số như1563616773y79j09j5t5nếu A.D = B.C sau đó chứng minh VT = VP.

♦ Ví dụ 1:Chứng minh các đẳng thức sau:

a)

b) 1563616800713l1jga5h

* Lời giải:

a)

– Ta cần chứng minh: 2(x – y).3 = -2.3(y – x)

VT = 2(x – y).3 = 6(x – y)

VP =-2.3(y – x) = -6(y – x) = -6y + 6x = 6x – 6y = 6(x – y).

⇒ VT = VP (ta có điều phải chứng minh).

b)1563616800713l1jga5h

– Ta cần chứng minh: x(x2 + 2x) = (x + 2).x2

VT =x(x2+ 2x) = x3 + 2x2

VP = (x + 2).x2 = x3 + 2x2

⇒ VT = VP (ta có điều phải chứng minh).

♦ Ví dụ 2:Xét sự bằng nhau của 2 phân thức A và B sau:

a) 1563616805bihtu3555h

1563616806ee0wluww03

b) 1563616808261e8t6sm1

1563616809qa330j0nya

* Lời giải:

a)Ta có:(có sử dụng tính chất chia cho nhân tử chung)

1563616806ee0wluww031563616814b5jint1h3y1563616815lps7ogtneb

b)Ta có:(có sử dụng tính chất chia cho nhân tử chung)

1563616808261e8t6sm1

1563616820mdc6j3at1q

° Dạng 5: Rút gọn phân thức đại số.

* Phương pháp:

– Phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử

– Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

♦ Ví dụ 1:Rút gọn các phânthức sau:

a)15637911443ovyoytdcu

b)15637911468h9gp0pzlt

* Lời giải

a)

1563791149w3l70dhwn3

b)1563846002ujr21qwo26

1563791152wio58l3z5s

° Dạng 6:Chứng minh phân thức đại số là tối giản.

* Phương pháp:

– Để chứng minh một phân thức đại số là tối giản ta gọi Ước chung lớn nhất của tử thức và mẫu thức là d, ta cần chứng minh d = 1 hoặc d = -1. (cần vận dụng kiến thức về ước và bội, tính chất chia hết,…).

♦ Ví dụ:Chứng minh các phân thức sau là tối giản.

a)1563856518id9qnsft8h

b)1563856520gfyrh7flin (với n là số tự nhiên);

* Lời giải:

a)1563856518id9qnsft8h

; gọi ƯCLN của -n+3 và n-4 là d.

1563856523il5w7og5wq

1563856524aengiip29215638565262tp1mntv6r1563856527dmya3r0cpg

⇒ d = 1 hoặc d = -1, Vậy phân thức đã cho tối giản∀n.

b)1563856520gfyrh7flin

(với n là số tự nhiên);

– Gọi ƯCLN của 2n+1và 5n+3 là d.

1563856530rakrcf7n84

– Có1563856530rakrcf7n84

15638565354363vl7f56

1563856536uqplu633rt

⇒ d=1 hoặc d=-1. Vậyphân thức đã cho tối giản∀n∈N.

° Dạng 7: Tìm giá trị nguyên của biến x để phân thức có giá trị nguyên.

* Phương pháp:

– Vận dụng kiến thức về ước và bội, dấu hiệu chia hết để giải bài toán này.

♦ Ví dụ:Tìm giá trị nguyên của biến x để biểu thức sau có giá trị là một số nguyên.

a)1563856538zy256e3vkf

b)1563856540gzgig7k52a

* Lời giải:

a)1563856538zy256e3vkf

° x – 2 là ước của 3; ta có Ư(3)={-3;-1;1;3}

Nếu x – 2 = -3⇒ x = -1

Nếu x – 2 = -1 ⇒ x = 1

Nếu x – 2 = 1 ⇒ x = 3

Nếu x – 2 = 3⇒ x = 5

– Kết luận: Vậy tập nghiệm là x∈ S = {-1;1;3;5}.

b)1563856540gzgig7k52a

° 2x – 1 là ước của 5; ta có Ư(5)={-5;-1;1;5}

Nếu 2x – 1 = -5 ⇒ x = -2

Nếu2x – 1 = -1 ⇒ x = 0

Nếu2x – 1 = 1 ⇒ x = 1

Nếu2x – 1 = 5 ⇒ x = 3

– Kết luận: Vậy tập nghiệm là x∈ S = {-2;0;1;3}.

° Dạng 8: Tính giá trị của phân thức tại 1 giá trị của biến.

* Phương pháp:

– Nếu phân thức đã ở dạng rút gọn, thay giá trị của biến vào phân thức rồi tính.

– Nếu phân thức chưa ở dạng rút gọn, thực hiện rút gọn phân thứcsau đó mớithay giá trị để tính.

♦ Ví dụ:Tính giá trị của biểu thức sau:

a)1563856544ie8i2styf4

tại x = -2.

b)1563856546w52t9mvtph

tại x=5.

* Lời giải:

a)1563856544ie8i2styf4tại x = -2.

– Ta được:1563856549f7nujn097k

b)1563856546w52t9mvtph

tại x=5.

– Ta có: gif

1563856546w52t9mvtph1563856554iqikz28z6n

– tại x = 5 ta có:

° Dạng 9:Tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức

* Phương pháp:

– Phân tích phần hệ số thành tích các số nguyên tố, phần biến thành nhân tử.

– Mẫu chung: Phần hệ số là BCNN của các hệ số của các mẫu; Phần biến là tích giữa các nhân tử chung (các nhân tử giống nhau lấy nhân tử có số mũ lớn nhất).

– Tìm nhân tử phụ: Lấy mẫu chung chia cho từng mẫu

– Nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được phân thức mới với các mẫu giống nhau.

♦ Ví dụ:Tìm điều kiện phân thức sau có nghĩa, tìm mẫu thức chung của chúng và quy đồng mẫu chung.

a)

b)

* Lời giải:

a)

– Điều kiện phân thức có nghĩa:

1563856562ou6jo4gctt

có nghĩa khi 2x + 6≠ 0⇒ x≠ -3.

156385656317717pfsk8

có nghĩa khi x2 + 6x + 9≠ 0⇒ (x + 3)2≠ 0⇒ x≠ -3.

– Ta có: 1563856562ou6jo4gctt

15638565671bn9e7euy3156385656317717pfsk8

⇒ Mẫu thức chung:1563856572a1brq3lpqj

– Quy đồng mẫu chung:

+ Nhân tử phụ của1563856562ou6jo4gctt

(x+3),

nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được:

+ Nhân tử phụ của156385656317717pfsk8

2,

nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được:1563856578zzbh6lgo5n

b)

– Điều kiện phân thức có nghĩa:

15638565817h1q7fgl3p

có nghĩa khi x2 – 2x + 1≠ 0⇒ (x – 1)2 ≠ 0⇒ x≠ 1.

có nghĩa khi x2 + 2x≠ 0⇒ x(x + 2) ≠ 0⇒ x≠ 0 và x ≠ -2.

– Ta có:1563856880zap8efsenv

⇒ Mẫu thức chung: x(x+2)(x-1)2

–Quy đồng mẫu chung:

+ Nhân tử phụ của15638565817h1q7fgl3plà x(x+2),

nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được:1563856589yeujkkmf43

+ Nhân tử phụ củalà (x-1)2 ,

nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được:1563856592pezzkas882

° Dạng 10:Thực hiện các phép toán trên phân thức

* Phương pháp:

Cộng trừ phân thức:Quy đồng mẫu chung;Thực hiện cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu giữ nguyên;Thu gọn nếu có thể

Nhân phân thức: Lấy tử nhân tử, mẫu nhân mẫu, thu gọn nếu có thể

Chia phân thức: nghịch đảo của1563856593n9m8z7ncdq

;

Ta có:1563856883l48ccfl35l

(phép chia thành phép nhân nghịch đảo), rồi thu gọn nếu có thể.

♦ Ví dụ:Thực hiện phép tính

a)

b)156385660061bw66665e

c)

* Lời giải:

a)1563856604ipntaejqsl

b)156385660061bw66665e1563856610aeibw6thvc(rút gọn, chia cả tử và mẫu cho 2)

c)1563856613p89pd7jmvv1563856615e28a6rkcg71563856617uyzaaop0hc1563856618i1yoiijcp6(rút gọn, chia cả tử và mẫu cho x)

III. Bài tập luyện tập các dạng toán về phân thức đại số

Bài tập 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định

a)15667003629jv0bfjwt0

b)1566700363zf1a3kacaw c)1566700365kcum15zf12

Bài tập 2: Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0:

a)

b) c)15667003702907camzch

Bài tập 3: Tìm giá trị của x để phân thức:

a)15667003712rm5jr3bnv

b)

Bài tập 4: Chứng minh phân thức sa luôn có nghĩa

a)15667003741yzdylaqva

b)15667003764l0bjtr2kz

Bài tập 5: Chứng minh các đẳng thức sau:

a)

b)15667003790h7j2p3zw8

Bài tập 6: Rút gọn các phân thức sau:

a)

b)1566700382dk2s8nc9t3

Bài tập 7: Chứng minh phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

a)15667003831kzr0s0ygq

b)15667003853aot8wnlgp

Bài tập 8: Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức sau:

a)15667003863aw2umi2bd

với

b)1566700389rlmqdha3zp

với x=-5 và y =10.

Bài tập 9: Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên

a)1566700391orry5b1im8

b)

Bài tập 10: Cho phân thức 1566700394mjgnl3rmyp

a) Tìm điều kiện của x để A xác định

b) Rút gọn A

c) Tính giá trị của A tại x=3

d) Tim giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên.

Hy vọng với bài viết hệ thống các dạng toán về phân thức đại số và bài tập vận dụng ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để TH Văn Thủy ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Trích nguồn: TH Văn Thủy
Danh mục: Lớp 8

Lê Thị Thanh Loan

Cô giáo Lê Thị Thanh Loan tốt nghiệp trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Hiện nay, Cô đang giảng dạy tại trường Trường tiểu học Văn Thủy
Back to top button