Lớp 8

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và bài tập vận dụng – Toán lớp 8

Phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức cơ sở cho các bài học về nhân chia đơn thức, đa thức đặc biệt trong các biểu thức phân số có chứa biến trong chương trình toán 8 và cả các lớp sau này.

Chính vì vậy, mà việc nắm vững các cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, hay phương pháp dùng hằng đẳng thức là điều rất cần thiết. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng giải các dạng bài tậpnày.

Bạn đang xem bài: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và bài tập vận dụng – Toán lớp 8

I.Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

* Phương pháp:

Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.

– Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.

– Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (và cả dấu của chúng).

* Ví dụ. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 15x3 – 5x2 + 10x = 5x.(3x2)+ 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3x2– x + 2)

b) 28x2y2– 21xy2+ 14x2y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy – 3y + 2x)

2. Phân tích đa thức thành nhân tử với phương pháp dùng hằng đẳng thức

* Phương pháp:

– Biến đổi đa thức bạn đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.

Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ:

♦ (A+B)2= A2+2AB+B2

♦(A–B)2= A2– 2AB+ B2

♦A2–B2= (A-B)(A+B)

♦(A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3

♦(A – B)3= A3– 3A2B+ 3AB2– B3

♦A3+ B3= (A+B)(A2– AB +B2)

♦A3– B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)

♦(A+B+C)2= A2+ B2+C2+2 AB+ 2AC+ 2BC

* Chú ý:a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2; (a+b)3= -(-a-b)3 ;(a-b)3=-(-a+b)3

* Ví dụ:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 9x2– 4 = (3x)2– 22= ( 3x– 2)(3x + 2)

b) 8 – 27x3y6= 23– (3xy2)3= (2 – 3xy2)(4 + 6xy2+ 9x2y4)

c) 25x4– 10x2y + y2= (5x2– y)2

3. Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử

* Phương pháp:

– Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.

– Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.

* Ví dụ:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 2x3– 3x2+ 2x – 3 = ( 2x3+ 2x) – (3x2+ 3)

= 2x(x2+ 1) – 3( x2+ 1) = ( x2+ 1)( 2x – 3)

b) x2 – 2xy + y2– 16 = (x – y)2– 42= ( x – y – 4)( x –y + 4)

4.Cáchthêm bớt 1 hạng tử hoặc tách hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử

* Phương pháp:

– Vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

* Ví dụ:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x4 + 4 = x4+ (4x2 –4x2) + 4= x4 + 4x2 + 4 – 4x2= (x2+2)2– 4x2

= (x2+2-2x)(x2+2+2x)

b) x4 + 1 = x4 + 2x2 – 2x2 + 1= x4+ 2x2+ 1– 2x2= (x2+1)2 – 2x2=(x2+1)2– (x√2)2

= (x2+1-x√2)(x2+1+x√2)

c)3x2+ 8x + 4 = 3x2+ 8x + 16 – 12 = (3x2– 12) + (8x + 16) = 3(x2 – 4) + 8(x+2)

=3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2)[3(x-2)+8] =(x + 2)(3x + 2)

hoặc:3x2+ 8x + 4 = 4x2 – x2 + 8x + 4 =(4x2+ 8x + 4) – x2= (2x + 2)2– x2

= (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)= (x + 2)(3x + 2)

5.Phối hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử

* Phương pháp: Sử dụngcác phương pháp trên theo thứ tự ưu tiên.

– Phương pháp đặt nhân tử chung.

– Phương pháp dùng hằng đẳng thức.

– Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.

* Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) 3xy2– 6xy + 3x

= 3x(y2– 2y + 1) (đặt nhân tử chung)

= 3x(y – 1)2 (dùng hằng đẳng thức (A–B)2= A2– 2AB+ B2 trong bước này A là y B là 1)

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

= 2((x2+ 2x +1) – y2) (đặt nhân tử chung)

= 2((x+1)2 – y2) (dùng hằng đẳng thức:(A+B)2= A2+2AB+B2) trong bước này A là x; B là 1)

= 2(x+1-y)(x+1+y)(dùng hằng đẳng thức:A2–B2= (A-B)(A+B) trong bước này A là x+ 1 còn B là y)

hayhochoi dn2jpg160448682 1604486868

II. Vận dụng giải một số dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 3x – 6y;

b) 1604313677jfytdcclaw 1604486868

;

c) 14x2y – 21xy2+ 28x2y2;

d)

;

e) 10x(x – y) – 8y(y – x).

* Lời giải bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:

a)3x – 6y = 3(x-2y)

b) 160431367770h6dl2ffk 1604486869

16043136788wvv9gl8ek 1604486869

c)14x2y – 21xy2+ 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)

d)

1604313678ihsvbekuz2 1604486869

e)10x(x – y) – 8y(y – x)

– Ta thấy:y – x = –(x – y) nên ta có:

10x(x – y) – 8y(y – x) =10x(x – y) – 8y[-(x – y)] =10x(x – y) + 8y(x – y) =2(x-y)(5x+4y)

Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính giá trị của biểu thức

a) 15.91,5 + 150.0,85;

b) x(x – 1) – y(1 – x) tại x = 2001 và y = 1999.

* Lời giải bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:

– Lưu ý: Với dạng bài tập này chúng ta cần phân tích hạng tử để xuất hiện nhân tử chung rồi phân tích thành nhân tử trước khi tính giá trị.

a)15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.

b)x(x – 1) – y(1 – x)

– Ta thấy: 1 – x = -(x – 1) nên ta có:

x(x – 1) – y(1 – x) =x(x-1)-y[-(x-1)] =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)

– Thayx = 2001 và y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000

Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:Tìm x, biết:

a) 5x(x -2000) – x + 2000 = 0;

b) x3– 13x = 0

* Lời giải bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:

a)5x(x -2000) – x + 2000 = 0

⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0

1604313678gtnr6aa0su 1604486870

1604313679h18qt9bscy 1604486870

– Kết luận có 2 giá trị x thoả mãn là x = 2000 và x = 1/5.

b) x3= 13x ⇔ x3– 13x = 0 ⇔ x(x2– 13) = 0

1604313679lqn6lbf1fj 1604486870

1604313679dv6h9euue4 1604486870

– Kết luận: Có ba giá trị của x thỏa mãn là x = 0, x = √13 và x = –√13.

Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: Chứng minh rằng 55n + 1– 55nchia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)

* Lời giảiBài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:

– Ta có: 55n + 1– 55n= 55n.55 – 55n= 55n(55 – 1)= 55n.54

– Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n.54 luôn chia hết cho 54 với n là số tự nhiên.

⇒ Vậy 55n + 1– 55nchia hết cho 54.

Bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2+ 6x + 9; b) 10x – 25 – x2

c) 1604313679p8pw7vl0ni 1604486871

; d) 1604313680agl4tfb3ay 1604486871

* Lời giải bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1:

a) x2+ 6x + 9 = (x)2+ 2.(x).(3) + (3)2= (x+3)2

b) 10x – 25 – x2= –(–10x + 25 + x2) = –(x2 – 10x + 25)

= –[(x)2– 2.(5).(x) + (5)2]= –(x–5)2

c) 1604313679p8pw7vl0ni 1604486871

1604313681mlwu5trv8f 16044868721604313681onfe0voydr 1604486872

d)1604313680agl4tfb3ay 1604486871

1604313681p6ta828572 1604486872

Bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)

; b) (a + b)3– (a – b)3

c) (a + b)3+ (a – b)3;

d) 8x3+ 12x2y + 6xy2+ y3

e) – x3+ 9x2– 27x + 27.

* Lời giải bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1:

a)

16043136828ncnl84pqa 16044868731604313683nctio811jc 1604486874

b)(a + b)3– (a – b)3

= [(a + b) – (a – b)] . [(a + b)2+ (a + b).(a – b) + (a – b)2]

= (a + b – a + b) . (a2+ 2ab + b2+ a2– b2+ a2– 2ab + b2)

= 2b.(3a2+ b2)

c) (a + b)3+ (a – b)3

= [(a + b) + (a – b)] . [(a + b)2– (a + b)(a –b) + (a – b)2]

= [(a + b) + (a – b)] . [(a2+ 2ab + b2) – (a2– b2) + (a2– 2ab + b2)]

= (a + b + a – b) . (a2+ 2ab + b2– a2+ b2+ a2– 2ab + b2)

= 2a.(a2+ 3b2)

d) 8x3+ 12x2y + 6xy2+ y3= (2x)3+ 3.(2x)2.y + 3.2x.y2+ y3= (2x + y)3

e) –x3+ 9x2– 27x + 27= (–x)3+ 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32+ 33= (–x + 3)3= (3 – x)3

Bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1:Tìm x, biết:

a) 2 – 25x2 = 0

b)16043136833goee5fsjr 1604486874

* Lời giải bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1:

a)2 – 25x2= 01604313683qekaslveqz 1604486874

16043136837wwqraes9o 16044868741604313684971tuqtwfn 1604486875

– Kết luận: vậy có 2 nghiệm thoả là x = -√2/5 và x=√2/5.

b)16043136833goee5fsjr 1604486874

1604313684l17d8v4bnt 1604486875160431368509dmugplhs 1604486876

– Kết luận: vậy có 1 nghiệm thoả là x=1/2.

Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh

a) 732– 272; b) 372– 132; c) 20022– 22

* Lời giải bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:

a) 732– 272= (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600

b) 372– 132= (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200

c) 20022– 22= (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000

Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2–xy + x – y

b) xz + yz – 5(x + y)

c) 3x2– 3xy – 5x + 5y

* Lời giải bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a)x2– xy + x – y

+)Cách 1:Nhóm hai hạng tử thứ 1 và thứ 2, hạng tử thứ 3 và thứ 4

x2– xy + x – y = (x2– xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)

+) Cách 2:Nhóm hạng tử thứ 1 và thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và thứ 4

x2– xy + x – y = (x2+ x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)

b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)

c) 3x2– 3xy – 5x + 5y

+)Cách 1:Nhóm hai hạng tử đầu tiên với nhau và hai hạng tử cuối với nhau:

3x2– 3xy – 5x + 5y = (3x2– 3xy) – (5x – 5y)= 3x(x – y) – 5(x – y)= (x – y)(3x – 5)

+) Cách 2:Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 3; hạng tử thứ 2 với hạng tử thứ 4:

3x2– 3xy – 5x + 5y = (3x2– 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).

Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2+ 4x –y2+ 4

b) 3x2+ 6xy + 3y2– 3z2

c) x2– 2xy + y2– z2+ 2zt – t2

* Lời giải Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a)x2+ 4x – y2+ 4 [ta thấyx2+ 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]

= (x2+ 4x + 4) – y2 [xuất hiện hằng đẳng thức (A+B)2]

= (x + 2)2– y2[xuất hiện hằng đẳng thứcA2-B2]

= (x + 2 – y)(x + 2 + y)

b) 3x2+ 6xy + 3y2– 3z2

= 3.(x2+ 2xy + y2– z2)[ta thấy x2+ 2xy + y2có dạng hằng đẳng thức]

= 3[(x2+ 2xy + y2) – z2] [xuất hiện hằng đẳng thức(A+B)2]

= 3[(x + y)2– z2][xuất hiện hằng đẳng thứcA2-B2]

= 3(x + y – z)(x + y + z)

c) x2– 2xy + y2– z2+ 2zt – t2[tathấy x2– 2xy + y2và z2– 2zt + t2có dạng hằng đẳng thức)

= (x2– 2xy + y2) – (z2– 2zt + t2)[xuất hiện hằng đẳng thức(A+B)2]

= (x – y)2– (z – t)2 [xuất hiện hằng đẳng thứcA2-B2]

= [(x – y) – (z – t)][(x – y) + (z – t)]

= (x – y – z + t)(x – y + z –t)

Bài 50 trang 23sgk toán 8 tập 1:Tìm x, biết:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

* Lời giải bài 50 trang 23sgktoán 8 tập 1:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

⇔ (x – 2)(x + 1) = 0

16043136855j40nvi75p 1604486876

16043136854sagbvr28j 1604486876

– Kết luận:vậy x = – 1 hoặc x = 2.

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0

160431368560p3h5iiue 1604486876

1604313686lb4a8azweo 16044868761604313686dlls4z2180 1604486877

– Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5.

Bài 51 trang 24 sgktoán 8 tập 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3– 2x2+ x.

b) 2x2+ 4x + 2 – 2y2

c) 2xy – x2– y2+ 16

* Lời giải bài 51 trang 24 sgktoán 8 tập 1:

a) x3 – 2x2+ x

= x.x2– x.2x + x.1 [nhân tử chung là x]

= x(x2– 2x + 1) [xuất hiện hằng đẳng thức (A-B)2]

= x(x – 1)2

b) 2x2+ 4x + 2 – 2y2[nhân tử chung là 2]

= 2.(x2+ 2x + 1 – y2) [ta thấy x2+ 2x + 1 có dạng hằng đẳng thức]

= 2[(x2+ 2x + 1) – y2]

= 2[(x + 1)2– y2][xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2]

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x2– y2+ 16 [ta thấy x2; y2; 2xy có liên hệ tới hằng đẳng thức]

= 16 – (x2– 2xy + y2)[xuất hiện hằng đẳng thức (A-B)2]

= 42 – (x – y)2 [xuất hiện hằng đẳng thứcA2-B2]

= [4 – (x – y)][4 + (x + y)]

= (4 – x + y)(4 + x – y).

Bài 52 trang 24sgk toán 8 tập 1:Chứng minh rằng (5n + 2)2– 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

* Lời giải bài 52 trang 24sgktoán 8 tập 1:

– Ta có: (5n + 2)2– 4 = (5n + 2)2– 22= (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)

– Vì 5 ⋮ 5 nên 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.

⇒ Vậy (5n + 2)2– 4 luôn chia hết cho 5 với n ∈ Ζ

Bài 53 trang 24sgk toán 8 tập 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2– 3x + 2

b) x2+ x – 6

c) x2+ 5x + 6

(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử – 3x = – x – 2x thì ta có x2– 3x + 2 = x2– x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.

Cũng có thể tách 2 = – 4 + 6, khi đó ta có x2– 3x + 2 = x2– 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)

* Lời giải bài 53 trang 24sgktoán 8 tập 1:

a) x2– 3x + 2

= x2– x – 2x + 2 [tách –3x = – x – 2x]

= (x2– x) – (2x – 2)

= x(x – 1) – 2(x – 1) [có x – 1 là nhân tử chung]

= (x – 1)(x – 2)

Hoặc: x2– 3x + 2

= x2– 3x – 4 + 6 [tách 2 = – 4 + 6]

= x2– 4 – 3x + 6

= (x2– 22) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2) [xuất hiện nhân tử chung x – 2]

= (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1)

b) x2+ x – 6

= x2+ 3x – 2x – 6 [tách x = 3x – 2x]

= x(x + 3) – 2(x + 3) [có x + 3 là nhân tử chung]

= (x + 3)(x – 2)

c) x2+ 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x)

= x2+ 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2) [có x + 2 là nhân tử chung]

= (x + 2)(x + 3)

III. Bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

– Học sinh tự luyện tập

Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) x2 – y2 – 2x + 2y

2) 2x + 2y – x2 – xy

3) x2 – 25 + y2 + 2xy

4) x2 – 2x – 4y2 – 4y

5) x2y – x3 – 9y + 9x

6) x2(x -1) + 16(1- x)

Bài tập 2:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)

2) x3 + x2y – 4x – 4y

3) 3(x+ 4) – x2 – 4x

4) x3 – 3x2 + 1 – 3x

5) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y

6) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2

7) x2 – xy + x – y

8) x2 – 2x – 15

Bài tập 3:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) 2x2 + 3x – 5

2) x2 + 4x – y2 + 4

3) 2x2 – 18

4) x3 – x2 – x + 1

5) x2 – 7xy + 10y2

6) x4 + 6x2y + 9y2 – 1

7) x3 – 2x2 + x – xy2

8) ax – bx – a2 + 2ab – b2

Bài tập 4:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) x4y4 + 4 2) x7 + x2 + 1

3) x4y4 + 64 4) x8 + x + 1

5) x8 + x7 + 1 6) 32x4 + 1

7) x8 + 3x4 + 1 8) x4 + 4y4

9) x10 + x5 + 1

Bài tập 5:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2

2) 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1

3) 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3

4) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2

5) x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2

6) x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3

7) x4 – 13x2 + 36

8) x4 + 3x2 – 2x + 3

9) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

Bài tập 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3

2) (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3

3) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

4) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

5) 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8

6) 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24

7) 15x3 + 29x2 – 8x – 12

8) x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8

9) x3 + 9x2 + 26x + 24

Bài tập 7:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12

2) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2

3) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

4) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

5) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20

6) x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35

7) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

8) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12

9) 4(x2 + 15x + 50) – (x2 + 18x + 74) – 3x2

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cùng các dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử ở trên hữu ích với các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để TH Văn Thủy nghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Trích nguồn: TH Văn Thủy
Danh mục: Lớp 8

Lê Thị Thanh Loan

Cô giáo Lê Thị Thanh Loan tốt nghiệp trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Hiện nay, Cô đang giảng dạy tại trường Trường tiểu học Văn Thủy
Back to top button