Lớp 8

Phương trình chứa dấu Giá trị tuyệt đối và cách giải – Toán lớp 8

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8 dù không được nhắc tới nhiều và thời gian dành cho nội dung này cũng khá ít. Vì vậy, dù đã làm quen một số dạng toán về giá trị tuyệt đối ở các lớp trước nhưng rất nhiều em vẫn mắc sai sót khi giải các bài toán này.

Trong bài viết này, chúng ta cùng ôn lại cách giải một số dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Qua đó vận dụng làm bài tập để rèn luyện kỹ năng giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Bạn đang xem bài: Phương trình chứa dấu Giá trị tuyệt đối và cách giải – Toán lớp 8

I. Kiến thức cần nhớ

1. Giá trị tuyệt đối

• Với a ∈ R, ta có:

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

a) Định nghĩa:

– Nhị thức bậc nhất của x là biểu thức có dạng f(x) = ax + b, trong đó a,b là các số cho trước và a ≠ 0.

– Số x0 = -b/a thỏa mãn f(x0) = 0 gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất f(x).

b) Quy tắc dấu:

– Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b cùng dấu với a khi x > x0; và trái dấu với a khi x < x0; cụ thể:

¤ Nếu a > 0 thì f(x) > 0,∀x > x0 và f(x) < 0,∀x < x0 như bảng sau:

dau cua nhi thuc bac nhat h1

¤ Nếu a < 0 thì f(x) < 0,∀x > x0và f(x) > 0,∀x < x0như bảng sau:

dau cua nhi thuc bac nhat h2

* Cách nhớ: Để ý bên phải nghiệm x0 thìf(x)cùng dấu với a, bên trái nghiệm x0 thì f(x) khác dấu với a, nên cách nhớ là: “Phải cùng, Trái khác”

II. Các dạng toán phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

° Dạng 1: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = k

* Phương pháp giải:

•Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng|P(x)| = k, (trong đó P(x) là biểu thức chứa x, k là 1 số cho trước) ta làm như sau:

– Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức (trị tuyệt đối của mọi số đều không âm).

– Nếu k = 0 thì ta có |P(x)| = 0⇔ P(x) = 0

– Nếu k > 0 thì ta có:1594113370um2aujh6as

* Ví dụ:Giải phương trình sau:

a)1594113372fapekvrdic

b)15940914643icbrfnfr7

°Lời giải:

a)1594113372fapekvrdic

1594113375l06szohv84

15941133777k2s5us6iahoặc1594113379wfl21h3k0o

•TH1:1594113381f4eyt1cvu8

15941133823pjvb29nnz

•TH2:1594113575538kramczf

1594113385aitk06rp8l

– Kết luận: Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 17/8 và x = 7/8.

b)15940914643icbrfnfr7

1594091472mkjnw889gg

15940914754tytyn4113

hoặc15940914774ns99szaao

• TH1:1594091478uyjql5q6o6

•TH2:1594091480hhjve787tu

– Kết luận: Có 2 giá trị của x thỏa điều kiện là x = 1 hoặc x = 3/4.

* Ví dụ 2: Giải và biện luận theo m phương trình |2 – 3x| = 2m – 6. (*)

°Lời giải:

– Nếu 2m – 6 < 0⇒ m < 3 thì pt (*) vô nghiệm

– Nếu 2m – 6 = 0⇒ m = 3 thì pt (*) trở thành

|2 – 3x| = 0⇔ 2 – 3x = 0⇔ x = 2/3. (Phương trình có nghiệm duy nhất).

– Nếu 2m – 6 > 0⇒ m > 3 thì pt (*)

1594113388cvty2aumdn

(Phương trình có 2 nghiệm)

• Kết luận: m = 0 pt(*) vô nghiệm

m = 3 pt(*) có nghiệm duy nhất x =2/3

m > 3 pt(*) có 2 nghiệm x = (8-2m)/3 và x = (2m-4)/3.

° Dạng 2: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = |Q(x)|

* Phương pháp giải:

•Đểtìm x trong bài toán dạngdạng |P(x)| = |Q(x)|, (trong đó P(x) và Q(x)là biểu thức chứa x) ta vận dụng tính chất sau:

1594095900ka0ee1uavm

tức là:

* Ví dụ:Tìm x biết:

a)|5x – 4| = |x + 4|

b)|7x – 1| – |5x + 1| = 0

*Lời giải:

a)|5x – 4| = |x + 4|

– Vậy x = 2 và x = 0 thỏa điều kiện bài toán

b)|7x – 1| – |5x + 1| = 0 ⇔|7x – 1| = |5x + 1|

– Vậy x = 1 và x = 0 thỏa điều kiện bài toán.

° Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đốidạng |P(x)| = Q(x)

* Phương pháp giải:

•Đểgiải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đốidạng |P(x)| = Q(x) (*), (trong đó P(x) và Q(x)là biểu thức chứa x) ta thực hiện 1 trong 2 cách sau:

* Cách giải 1:

1594113392kjpytwtqet

hoặc

* Cách giải 2:

1594113395ylqkszfabn

hoặc1594113396vldz0q1ty7

* Ví dụ 1 (Bài 36 trang 51 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:

a) |2x| = x – 6. b) |-3x| = x – 8

c) |4x| = 2x + 12. d) |-5x| – 16 = 3x

° Lời giải:

a) |2x| = x – 6 (1)

* Sử dụng cách giải 1:

– Ta có: |2x| = 2x khi x ≥ 0

|2x| = -2x khi x < 0.

– Với x ≥ 0 phương trình (1) ⇔ 2x = x – 6 ⇔ x = -6

Giá trị x = -6 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên không phải nghiệm của (1)

– Với x < 0 phương trình (1) ⇔ -2x = x – 6 ⇔ -3x = -6 ⇔ x = 2.

Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x < 0 nên không phải nghiệm của (1).

+ Kết luận: Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

* Sử dụng cách giải 2:

– Ta có: x – 6≥ 0⇒ x≥ 6.

1594116962wdsmwj14k1

hoặc15941169649qn9epj5nr

15941169651mv1zca027

hoặc1594116967ba4kv4et6u

– Ta thấy x = -6 và x = 2 đều không thỏa điều kiện x≥ 6 nên pt(1) vô nghiệm.

– Kết luận: Phương trình vô nghiệm

b) |-3x| = x – 8 (2)

– Ta có: |-3x| = -3x khi -3x ≥ 0⇔ x ≤ 0.

|-3x| = -(-3x) = 3x khi -3x < 0⇔ x > 0.

– Vớix ≤ 0 phương trình (2)⇔ -3x = x – 8 ⇔ -4x = -8 ⇔ x = 2

Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên không phải nghiệm của (2).

– Với x > 0 Phương trình (2) ⇔ 3x = x – 8 ⇔ 2x = -8 ⇔ x = -4.

Giá trị x = -4 không thỏa mãn điều kiện x > 0 nên không phải nghiệm của (2).

– Kết luận: Phương trình (2) vô nghiệm.

c) |4x| = 2x + 12 (3)

– Ta có: |4x| = 4x khi 4x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

|4x| = -4x khi 4x < 0⇔ x < 0.

– Với x ≥ 0 phương trình (3) ⇔ 4x = 2x + 12 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6.

Giá trị x = 6 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên là nghiệm của (3)

– Với x < 0 phương trình (3)⇔ -4x = 2x + 12 ⇔ -6x = 12 ⇔ x = -2.

Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x < 0 nên là nghiệm của (3).

– Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 6 và x = -2.

d) |-5x| – 16 = 3x (4)

– Ta có: |-5x| = -5x khi -5x ≥ 0⇔ x ≤ 0.

|-5x| = -(-5x) = 5x khi -5x < 0⇔ x > 0.

– Với x ≤ 0 phương trình (4) ⇔ -5x – 16 = 3x ⇔ -5x – 3x = 16 ⇔ -8x = 16 ⇔ x = -2.

Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên là nghiệm của (4).

– Với x > 0 phương trình (4)⇔5x – 16 = 3x ⇔ 5x – 3x = 16 ⇔ 2x = 16 ⇔ x = 8

Giá trị x = 8 thỏa mãn điều kiện x > 0 nên là nghiệm của (4).

– Kết luận: Phương trình có hai nghiệm nghiệm x = -2 và x = 8.

* Ví dụ 2 (Bài 37 trang 51 SGK Toán 8 tập 2):Giải các phương trình:

a) |x – 7| = 2x + 3. b) |x + 4| = 2x – 5

c) |x+ 3| = 3x – 1. d) |x – 4| + 3x = 5

° Lời giải:

a) |x – 7| = 2x + 3 (1)

– Ta có: |x – 7| = x – 7 khi x – 7 ≥ 0⇔ x ≥ 7.

|x – 7| = -(x – 7) = 7 – x khi x – 7 < 0⇔ x < 7.

– Với x ≥ 7 phương trình (1) ⇔ x – 7 = 2x + 3 ⇔ x = -10.

Giá trị x = -10 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 7 nên không phải nghiệm của (1).

– Với x < 7 phương trình (1)⇔ 7 – x = 2x + 3 ⇔ 3x = 4 ⇔ x = 4/3

Giá trị x = 4/3 thỏa mãn điều kiện x < 7 nên là nghiệm của (1)

– Kết luận: Phương trình (1) có một nghiệm x = 4/3.

b) |x + 4| = 2x – 5 (2)

– Ta có: |x + 4| = x + 4 khi x + 4 ≥ 0⇔ x ≥ -4.

|x + 4| = -(x + 4) = -x – 4 khi x + 4 < 0⇔ x < -4.

– Với x ≥ -4 phương trình (2) ⇔ x + 4 = 2x – 5 ⇔ x = 9

Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x ≥ -4 nên là nghiệm của (2).

– Với x < -4 phương trình(2) ⇔–x – 4 = 2x – 5 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = 1/3

Giá trị x = 1/3 không thỏa mãn điều kiện x < -4 nên không phải nghiệm của (2)

– Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = 9.

c) |x + 3| = 3x – 1 (3)

– Ta có : |x + 3| = x + 3 khi x + 3 ≥ 0⇔ x ≥ -3.

|x + 3| = -(x + 3) = -x – 3 khi x + 3 < 0 ⇔ x < -3.

– Với x ≥ -3 phương trình (3) ⇔ x + 3 = 3x – 1 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2.

Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ -3 nên là nghiệm của phương trình (3).

– Với x < -3 thì phương trình (3)⇔ -x – 3 = 3x – 1 ⇔ 4x = -2 ⇔ x = -1/2.

Giá trị x = -1/2 không thỏa mãn điều kiện x < -3 nên không phải nghiệm của (3).

– Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = 2.

d) |x – 4| + 3x = 5 (4)

– Ta có: |x – 4| = x – 4 nếu x ≥ 4

|x- 4| = -(x – 4) = 4 – x nếu x – 4 < 0⇔ x < 4

– Với x ≥ 4 phương trình (4) ⇔ x – 4 + 3x = 5 ⇔ 4x = 9 ⇔x = 9/4

x = 9/4 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 4 nên không là nghiệm của phương trình (4).

– Với x < 4 Phương trình (4)⇔ 4 – x + 3x = 5 ⇔ 4 + 2x = 5 ⇔ 2x = 1 ⇔ x=1/2.

x = 1/2 thỏa mãn điều kiện x < 4 nên x = 1/2 là nghiệm của (4).

– Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x=1/2.

° Dạng 4: Phương trình có nhiều biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đốidạng |A(x)| + |B(x)| = C(x)

* Phương pháp giải:

•Đểgiải phương trình có nhiều biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đốidạng |A(x)| + |B(x)| = C(x) (*), (trong đó A(x), B(x) và C(x)là biểu thức chứa x) ta thực hiệnnhư sau:

–Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu giá trị tuyệt đối

–Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu GTTĐ

– Căn cứ bảng xét dấu, chia từng khoảng để giải phương trình (sau khi giải được nghiệm đối chiếu nghiệm với điều kiện tương ứng).

* Ví dụ: Giải phương trình: |x + 1| + |x – 3| = 2x – 1

° Lời giải:

– Ta có:|x + 1| = x + 1 nếu x≥ 1

|x + 1| = -(x + 1) nếu x < 1

– Tương tự: |x – 3| = x – 3 nếu x≥ 3

|x – 3| = -(x – 3) nếu x < 3

– Từ đó ta có bảng sau:

lap bang xet dau vi du dang toan 4

-TH1: Nếu x < -1 thì phương trình (2) trở thành:

-x – 1 – x + 3 = 2x – 1⇔ x = 3/4 (không thỏa mãn đk x < -1)

-TH2: Nếu -1≤ x≤ 3 thì phương trình (2) trở thành:

x + 1 – x + 3 = 2x – 1⇔ x = 5/2 (thỏa điều kiện-1≤ x≤ 3)

-TH3: Nếu x > 3 thì phương trình (2) trở thành:

x + 1 + x – 3 = 2x – 1⇔ 0x = 1 (vô nghiệm)

– Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 5/2.

° Dạng 5: Phương trình có nhiều biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đốidạng |A(x)| + |B(x)| = |A(x) + B(x)|

* Phương pháp giải:

•Để giải pt trị tuyết đối dạng |A(x)| + |B(x)| = |A(x) + B(x)| ta dựa vào tính chất:

|A(x) + B(x)|≤ |A(x)| + |B(x)| nên phương trình tương đương với điều kiện đẳng thức A(x).B(x)≥ 0.

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: |x + 5| + |3 – x| =8

° Lời giải:

– Ta có:8 = |x + 5 + 3 – x|≤ |x + 5| + |3 – x|,∀x∈ R.

– Nên|x + 5| + |3 – x| =8⇔ (x + 5)(3 – x)≥ 0.

– Ta có bảng xét dấu sau:

vi du 1 dang toan 5 pt chua dau gt tuyet doi

– Từ bảng xét dấu, ta có: (x + 5)(3 – x)≥ 0⇔ -5≤ x≤ 3.

– Vậy bất pt có tập nghiệm là: S = {x∈ R|-5≤ x≤ 3} hoặc có thể viết S = [-5;3].

* Ví dụ 2:Giải phương trình sau: |5x + 1| + |3 – 2x| = |4 + 3x|

° Lời giải:

– Ta có:|4 + 3x| = |5x + 1 + 3 – 2x|≤ |5x + 1| + |3 – 2x|. Nên

|5x + 1| + |3 – 2x| = |4 + 3x|⇔ (5x + 1)(3 – 2x)≥ 0.

– Ta có bảng xét dấu:

vd2 dang toan 5 pt chua dau gt tuyet doi

– Từ bảng xét dấu, ta có: (5x + 1)(3 – 2x)≥ 01594175947ivcbj4smz5

– Vậy tập nghiệm của bất pt là:1594175949s621vmpggb

.

III. Một số bài tập về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

* Giải các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối sau:

1) |-4x| = x + 2

2) |2 – x| = 2 – 3x

3) 2x – |6x – 7| = -x + 8

4)

5) |x2 – 2x| = x

6) |x2+ 4x – 5| = x2 – 1

7)1594175952rp99mck4h6

8)1594175954ry37a6s8wb

9)

10) |2x + 1| = |x – 1|

11) |1 + 4x| – |7x – 2| = 0

12) |2x2 + 5x – 10| = 2x2 + 1

13) |x – 2| + |x – 3| = 1

14) |2x + 3| – |x| + x – 1 = 0

15) |x + 1| – 2|x – 1| = x

* Đáp số:

1) S = {-2/5;2/3};

2) S = {0};

3) S =∅;

4) S = {1/8};

5) S = {0; 1; 3};

6) S = {-3; 1};

7) S = {2};

8) S = {-4/3;4};

9) S = {-4};

10) S = {-2; 0}

11) S = {1/11; 1};

12) S = {-9/4; 1; 11/5};

13) S = [2;3];

14) S = {-1/2};

15) S = {1/2;3/2}.

Hy vọng với bài viếtPhương trình chứa dấu Giá trị tuyệt đối và cách giảiở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để TH Văn Thủyghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Trích nguồn: TH Văn Thủy
Danh mục: Lớp 8

Lê Thị Thanh Loan

Cô giáo Lê Thị Thanh Loan tốt nghiệp trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Hiện nay, Cô đang giảng dạy tại trường Trường tiểu học Văn Thủy
Back to top button